Discussione:Numero primo di Sophie Germain

Sposto qui una delle due dimostrazioni. Oltre ad essere senza fonte, è di fatto una variante della dimostrazione precedente (che è pià breve).--Dr ζimbu (msg) 17:22, 19 gen 2015 (CET)

Dimostrazione 2

Dimostrazione 2

Sia $p$ un primo di Sophie Germain, cioè $2p+1=p'$ è un numero primo, per assurdo esistano tre numeri x,y,z tali che 2p+1 non divide xyz e che

$x^{p}+y^{p}=z^{p}$

elevando al quadrato entrambi i membri della prima equazione si ricava

$(x^{p}+y^{p})^{2}=z^{2p}=z^{p'-1}$

e per il piccolo teorema di Fermat

$(x^{p}+y^{p})^{2}=1$ mod p'

da cui

$x^{2p}+2x^{p}y^{p}+y^{2p}=1$ mod p'

$x^{p'-1}+2x^{p}y^{p}+y^{p'-1}=1$ mod p'

$2x^{p}y^{p}=-1$ mod p'

In modo analogo si ricava che

$2x^{p}z^{p}=1$ mod p'

$2y^{p}z^{p}=1$ mod p'

quindi

$2x^{p}y^{p}+2x^{p}z^{p}=0$ mod p'

$2x^{p}y^{p}+2y^{p}z^{p}=0$ mod p'

e

$2x^{p}(y^{p}+z^{p})=0$ mod p'

$2y^{p}(x^{p}+z^{p})=0$ mod p'

Ricordando che p' non divide né x né y né z allora

$x^{p}+y^{p}+2z^{p}=0$ mod p'

$3z^{p}=0$ mod p'

ma ciò è impossibile poiché p' dovrebbe dividere z.